Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı: Sesli, Defterli 8. Sınıf Dersi

Kendin dene: iki sayının EBOB’u, EKOK’u ve asal çarpanları

Yukarıdaki sesli dersi izledikten sonra kendi sayılarınla dene: iki sayı yaz, araç çarpanlarını, asal çarpanlara ayrılmış hâlini, EBOB’u, EKOK’u ve aralarında asal olup olmadıklarını gösterip sonucu deftere el yazısıyla yazsın. Araç 2 ile 9999 arasındaki doğal sayılarla çalışır; hiçbir veri cihazından çıkmaz.

Çarpan nedir? Bir sayının çarpanları nasıl bulunur?

Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Çarpanları kaçırmamanın en kolay yolu onları çiftler hâlinde aramaktır: 1’den başlayıp yukarı çıkarsın, sayı bölünüyorsa iki çarpanı birden yazarsın.

• 12 = 1 · 12
• 12 = 2 · 6
• 12 = 3 · 4

Sıra 4’e geldiğinde 4 zaten listede olduğu için durursun. 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12; toplam 6 tane. Sesli dersteki 12 küp örneği de bunu gösterir: 12 küpü 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4’lük dikdörtgenlere dizebilirsin; dikdörtgenlerin kenar uzunlukları 12’nin çarpanlarıdır.

Tam kare sayılarda çarpan sayısı tektir. 36’da 6 · 6 çifti tek bir sayıdan oluşur; bu yüzden 36’nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36, yani 9 tanedir. Unutma: 1 her sayının çarpanıdır ve her sayı kendisinin de çarpanıdır.

Kat nedir? Çarpan ile kat arasındaki ilişki

Bir sayının doğal sayılarla çarpımlarına o sayının katları denir. 3’ün katları 3, 6, 9, 12, 15… diye sürer. Çarpan ve kat aynı ilişkiye iki taraftan bakmaktır: 3, 12’nin çarpanıysa 12 de 3’ün katıdır. Bir sayının çarpanları sınırlıdır, katları ise sonsuza kadar sürer.

Asal sayılar: 1 neden asal değil, 2 neden özel?

Birden büyük olup 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

• 1 asal sayı değildir. Asal sayının iki farklı pozitif böleni olur; 1’in tek böleni kendisidir.
• 2 hem en küçük asal sayı hem de çift olan tek asal sayıdır. Diğer bütün çift sayılar 2’ye bölündüğü için asal olamaz.

Asal çarpanlara ayırma: çarpan ağacı ve bölen merdiveni

Bir sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Hangi yoldan başlarsan başla, sonuçta hep aynı asallar çıkar.

Çarpan ağacı

60’ı iki çarpana ayır: 60 = 6 · 10. Sonra asal olmayan dalları ayırmaya devam et: 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5. Dalların ucunda yalnızca asal sayılar kaldığında dur: 2, 2, 3 ve 5. Ağaca 4 · 15 ile başlasan da sonuç değişmez.

Bölen merdiveni

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla böl ve bölümü alta yaz:

Sağ sütundaki asallar yine 2, 2, 3 ve 5’tir. Üslü yazarsak: 60 = 2² · 3 · 5. 60’ın asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir (asal çarpanlar sayılırken her asal bir kez sayılır).

EBOB nedir, nasıl bulunur?

EBOB (en büyük ortak bölen), iki sayıyı birden kalansız bölen sayıların en büyüğüdür. Bir bütünü artık kalmadan olabildiğince büyük eş parçalara ayırmak istediğinde EBOB ararsın.

Örnek: 12 cm × 18 cm’lik bir karton, hiç artık kalmadan, eş ve olabildiğince büyük karelere kesilecek. Karenin kenarı hem 12’yi hem 18’i tam bölmeli.

• 12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6; en büyüğü 6

Karelerin kenarı 6 cm olur; kısa kenar boyunca 12 ÷ 6 = 2, uzun kenar boyunca 18 ÷ 6 = 3 kare sığar, toplam 2 × 3 = 6 kare çıkar.

Asal çarpanlarla: 12 = 2² · 3 ve 18 = 2 · 3². EBOB için yalnız ortak asalları, her birinin en küçük üssüyle alırsın: 2 · 3 = 6.

EKOK nedir, nasıl bulunur?

EKOK (en küçük ortak kat), iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Farklı aralıklarla tekrar eden olayların ilk kez ne zaman yeniden buluşacağını sorduğunda EKOK ararsın.

Örnek: Biri 12, öteki 18 dişli iki dişli birbirine geçiyor. İşaretli dişler yan yana başlıyor; kaç diş geçince yeniden buluşurlar?

• 12’nin katları: 12, 24, 36, 48…
• 18’in katları: 18, 36, 54…
• İlk ortak kat 36

36 diş geçince işaretli dişler yeniden buluşur; bu sırada küçük dişli 36 ÷ 12 = 3 tur, büyük dişli 36 ÷ 18 = 2 tur atmış olur.

Asal çarpanlarla: EKOK için bütün asalları, her birinin en büyük üssüyle alırsın: 2² · 3² = 4 · 9 = 36.

Aralarında asal sayılar

EBOB’u 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir. Örneğin 8 = 2³ ve 15 = 3 · 5’in ortak asal çarpanı yoktur; EBOB(8, 15) = 1.

• En sık yapılan hata: aralarında asal olmaları için sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. 8 de 15 de asal değildir.
• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır; örneğin 20 ile 21.
• Aralarında asal iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK(8, 15) = 8 · 15 = 120.

LGS’de EBOB mu, EKOK mu? Soruyu tanımanın yolu

LGS’de bu konu çoğunlukla bir günlük hayat durumunun içinde sorulur; önce sorunun hangisini istediğini tanı.

Kontrol için iki sayıda şu eşitliği kullanabilirsin: EBOB · EKOK = iki sayının çarpımı. 6 · 36 = 216 ve 12 · 18 = 216. Bu tablo bir ipucudur; her soruda ne istendiğini cümleden okumak gerekir.

Bu konu hangi kazanımları kapsıyor?

2026-2027 eğitim öğretim yılında 8. sınıflar, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli’ne geçmeyen sınıflar arasında yer alıyor; Çarpanlar ve Katlar ünitesi MEB Matematik Dersi Öğretim Programı’ndaki (2018) üç kazanımla işleniyor.

• M.8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, bu çarpanları üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. Asal çarpanları bulmaya yönelik çalışmalar da yapılır.
• M.8.1.1.2: İki doğal sayının EBOB ve EKOK’unu hesaplar, ilgili problemleri çözer. Programın notuna göre alan ve hacim hesaplamayı gerektiren problemlere girilmez.
• M.8.1.1.3: Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.

Konunun LGS’deki yeri ve diğer üniteler için LGS konuları sayfasına, düzenli çalışma planı için 8. sınıf ders çalışma programı sayfasına bakabilirsin. Deneme sonuçlarını izlemek için LGS net hesaplama aracını kullan.